Halaman
Rotasi Benda Tegar87ROTASI BENDA TEGARGerak benda ada berbagai jenis ada gerak lurus, getaran dan ada lagi gerak melingkar atau gerak rotasi. Contoh benda yang bergerak rotasi adalah orang yang membuka pintu, gerak rotasi bumi, gerak roda dan seperti gambar di atas seseorang yang melepas ban mobil.Bagaimana sebuah benda dapat berotasi, besaran apakah yang mempengaruhi, bagaimana percepatan, energi dan momentumnya? Semua pertanyaan inilah yang dapat kalian pelajari pada bab ini. Oleh sebab itu setelah belajar bab ini diharapkan kalian dapat:1. menentukan momen gaya dan momen inersia suatu benda yang berotasi,2. menentukan syarat-syarat benda yang seimbang rotasi,3. menentukan percepatan benda yang berotasi,4. menentukan energi kinetik rotasi dan momentum sudut,B A BB A B6Sumber: www.sci.news.co
Fisika SMA Kelas XI88A. Momen Gaya dan Momen InersiaGambar 6.1Memutar sebuah baut perlu ada gaya dan lengan tertentu.Gambar 6.2(a) Kaedah tangan kanan (b) arah torsi dan arah rotasi.rotasi(a)τ(b)Fττθ1. Momen GayaApakah kalian sudah mengetahui tentang mo-men gaya? Coba kalian amati roda yang berputar, pintu yang berotasi membuka atau menutup atau per-mainan roda putar di pasar malam. Mengapa semua itu bisa berputar atau berotasi? Besaran yang dapat menyebabkan benda berotasi itulah yang dinamakan momen gaya atau torsi.Momen gaya merupakan besaran yang dipen-garuhi oleh gaya dan lengan. Lihat pada Gambar 6.1, untuk memutar baut diperlukan lengan d dan gaya F. Besar momen gaya didefinisikan sebagai hasil kali antara gaya yang bekerja dengan lengan yang saling tegak lurus. Bagaimana jika membutuhkan sudut tertentu? Besarnya dapat memenuhi persamaan berikut.τ = d • F ; atauτ = d F sin θ ........................ (6.1)Momen inersia merupakan besaran vektor. Be-sarnya memenuhi persamaan 6.1 dan arahnya sesuai kaedah tangan kanan seperti pada Gambar 6.2.CONTOH 6.1Batang AB bebas berputar di titik O. Seperti pada Gambar 6.3(a). Panjang AB = 3 m, AO = 2 m dan OB = 1 m. Pada titik A bekerja gaya FA = 10 N dan pada titik B bekerja gaya FB = 20 N. Tentukan torsi yang bekerja pada batang dan arah putarnya.dFGambar 6.3(a) Benda dipengaruhi gaya (b) pengaruh torsi.FB = 20 NBO2 m1 m30OFB sin ττA(b)FA = 10 NFA = 10 NFB = 20 NBO2 m1 m30OA(a)
Rotasi Benda Tegar89Gambar 6.4Partikel bermassa m berotasi mengelilingi sumbunya dengan jari-jari R.SumbuRmPenyelesaianUntuk menentukan torsi batang AB dapat digam-barkan nilai t positif atau negatif dan gaya yang tegak lurus. Lihat Gambar 6.3(b). Maka torsi di titik O memenuhi:τ0 = -(OA)FA + (OB) . FB sin 30O = -2. 10 + 1. 20 . = -10 Nmτ0 bernilai negatif berarti batang AB akan berotasi searah jarum jam dengan poros di titik O.Batang AB yang panjangnya 2 m dipengaruhi tiga gaya seperti pada gambar. Tentukan torsi batang tersebut di titik O.2. Momen InersiaPada gerak rotasi ini, kalian dikenalkan besaran baru lagi yang dinamakan momen inersia. Inersiaberarti lembam atau mempertahankan diri. Momen inersia berarti besaran yang nilainya tetap pada suatu gerak rotasi. Besaran ini analog dengan massa pada gerak translasi atau lurus.Besarnya momen inersia sebuah partikel yang berotasi dengan jari-jari R seperti pada Gambar 6.4didefinisikan sebagai hasil kali massa dengan kuadrat jari-jarinya. I = m R2.Untuk sistem partikel atau benda tegar memenuhi hubungan berikut.Sistem partikel : I = ΣmR2Benda tegar : I = k m R2 ............. (6.2)Setelah memahami contoh di atas dapat kalian coba soal berikut.PentingArah momen gaya dapat meng-gunakan perjanjian:• τ negatif jika memutar searah jarum jam• τ positif jika memutar ber-lawanan arah jarum jam.100 NBC0,5 m1 m37OA0,5 mO30O150 N120 N
Fisika SMA Kelas XI90Gambar 6.5Beberapa benda berotasi den-gan sumbu dan nilai konstanta inersia k.k adalah nilai konstanta inersia yang besarnya tergantung pada suhu dan bentuk bendanya. Perhatikan Gambar 6.5.CONTOH 6.2Silinder pejal berjari-jari 8 cm dan massa 2 kg. Se-dangkan bola pejal berjari-jari 5 cm dan massa 4 kg. Jika kedua benda tadi berotasi dengan poros melalui pusatnya maka tentukan perbandingan momen inersia silinder dan bola!PenyelesaianmS = 2 kg, RS = 8 cm = 8.10-2 mmB = 4 kg, RB = 5 cm = 5.10-2 mMomen inersia silinder pejal : IS = mS RS2 = . 2. (8.10-2)2 = 64.10-4 kg m2Momen inersia bola pejal : IB = mB RB2 = . 4. (5.10-2)2 = 40.10-4 kg m2Perbandingannya sebesar : = =
Rotasi Benda Tegar91Setelah memahami contoh di atas dapat kalian coba soal berikut.LATIHAN 6.13. Batang PQ panjangnya 4 m dipengaruhi tiga gaya seperti pada gambar. Tentukan momen gaya yang bekerja pada batang dan arah putarnya jika porosnya di titik O.4. Kaleng tempat biskuit yang sudah habis isinya digunakan mainan oleh Dhania. Massa kaleng 200 gr dan jari-jarinya 15 cm. Kaleng tersebut digelindingkan pada lantai mendatar. Jika tutup dan alas kaleng diabaikan maka tentukan momen inersia kaleng F = 100 N2 m53ORoda tipis berjari-jari 30 cm dan massa 1 kg menggelind-ing bersama bola pejal berjari-jari 8 cm dan massa 1,5 kg. Tentukan perbandingan momen inersia bola dan roda.1. Sebuah roda berjari-jari 20 cm kemudian dililiti tali dan ditarik dengan daya 100 N seperti pada gambar. Berapakah momen gaya yang bekerja pada roda tersebut?2. Faza sedang mendongkrak batu dengan batang seperti pada gambar. Berapakah momen gaya yang diberikan oleh Faza?F = 100 100 N120 N80 N2 m1 m1 PROQ30O
Fisika SMA Kelas XI92B. Hukum Newton Gerak RotasiGambar 6.6(b)AB25 cm(a)AB1 m0,5 0,5 NANBw = 80 wAB100 1. Keseimbangan Benda TegarDi kelas X kalian telah belajar tentang hukum Newton. Masih ingat hukum I Newton? Tentu saja masih. Jika benda dipengaruhi gaya yang jumlahnya nol ΣF = 0 maka benda akan lembam atau seimbang translasi.Hukum I Newton di atas itulah yang dapat dikembangkan untuk gerak rotasi. Jika suatu benda dipengaruhi momen gaya yang jumlahnya nol (Στ = 0) maka benda tersebut akan seimbang rotasi.Kedua syarat di atas itulah yang dapat digu-nakan untuk menjelaskan mengapa sebuah benda tegar itu seimbang. Sebuah benda tegar akan seim-bang jika memenuhi keadaan syarat di atas. Berarti berlaku syarat di bawah.ΣF = 0dan Στ = 0 .................................. (6.3)Untuk memahami syarat-syarat pada persamaan 6.3 dapat kalian cermati contoh berikut.CONTOH 6.31. Sebuah papan panjangnya 2 m diberi peno-pang tiap-tiap ujungnya seperti pada Gambar 6.6(a). Massa papan 10 kg. Pada jarak 50 cm dari penopang B diletakkan beban 80 N. Jika sistem dalam keadaan seimbang maka tentu-kan gaya tekan normal yang bekerja di titik A dan B! Penyelesaian Untuk menentukan nilai NA dan NB dapat digunakan syarat persamaan 6.3. Karena keduanya belum diketahui, gunakan syarat Στ = 0 terlebih dahulu.Acuan titik A Momen gaya yang bekerja dari titik A dapat digambarkan seperti pada Gambar 6.6(b), dan berlaku syarat berikut.ΣτA = 0 (AB). NB− (AO). wAB− (AC) . w = 0 2 . NB− 1. 100 − 1,5 . 80 = 0 2 NB = 220 NB = 110 N Nilai NA dapat ditentukan dengan syarat ΣF = 0 sehingga
Rotasi Benda Tegar93Setelah memahami contoh di atas dapat kalian coba soal berikut. diperoleh :ΣF = 0 NA + NB− wAB− w = 0 NA + 110 − 100 − 80 = 0 NA = 70 N2. Sebuah papan nama bermassa 10 kg digantung pada batang bermassa 4 kg seperti pada Gambar 6.7(a). Agar sistem dalam keadaan seimbang maka berapakah tegangan minimum yang dapat ditarik oleh tali BC? Penyelesaian Tegangan T minimum adalah besar tegangan yang dapat menyebabkan sistem itu seimbang sesuai beratnya. Gaya dan momen gayanya dapat digambarkan seperti pada Gambar 6.7(b). Nilai T dapat ditentukan dengan syarat Στ = 0 di titik A.ΣτA = 0(AB).T sin 30O−(AB).wAB−(AB).w = 0 l . T . −l . 40 −l . 100 = 0 T − 40 − 200 = 0 T = 240 N1. Sebuah batang homogen bermassa m ditopang pada titik O dan diikat di ujung B seperti Gam-bar 6.8(a). Panjang batang AB = 4 m. Jika un-tuk membuat batang AB mendatar dibutuhkan beban 200 N maka tentukan massa batang m?2. Batang AB sepanjang 6 m ditopangkan pada tembok seperti Gambar 6.8(b). Jika massa batang AB 10 kg dan seimbang maka tentukan gaya tekan normal di titik C!(a)BC30OACABTT sin w = 100 wAB = 40 300(b)Gambar 6.7Papan nama digantungGambar 6.8BCOA(a)1 m(b)BCA3 m4 m
Fisika SMA Kelas XI942. Gerak RotasiKalian sudah belajar tentang keadaan benda yang memiliki resultan momen gaya nol, yaitu ben-danya akan setimbang rotasi. Bagaimana jika resul-tan tidak nol? Jawabannya harus kalian hubungkan hukum II Newton.Pada hukum II Newton di kelas X, telah kalian pelajari untuk gerak translasi. Jika benda dipengaruhi gaya yang tidak nol maka benda itu akan mengalami percepatan. ΣF = m a.Apabila hukum II Newton ini kalian terapkan pada gerak rotasi maka saat benda bekerja momen gaya yang tidak bekerja momen gaya yang tidaknol maka bendanya akan bergerak rotasi dipercepat. Perhatikan Gambar 6.9.Dari penjelasan di atas dapat dibuat simpulan hukum II Newton pada gerak translasi dan rotasi sebagai berikut.Gerak translasi : ΣF = m a........... (6.4)Gerak rotasi : Στ = I αPahamilah persamaan di atas pada contoh berikut.a. Sistem bendaSistem benda adalah gabungan beberapa benda yang mengalami gerak secara bersama-sama. Pada sistem benda bab ini dapat merupakan gabungan gerak translasi dan rotasi. Contohnya adalah sistem katrol dengan massa tidak diabaikan. Perhatikan contoh berikut.CONTOH 6.4Balok A 2 kg berada di atas meja licin dihubungkan tali dengan balok B 3 kg melalui katrol sehingga dapat menggantung seperti pada Gambar 6.10(a). Jika massa katrol sebesar 2 kg dan jari-jari 10 cm maka tentukan :a. percepatan benda A dan B,b. percepatan sudut katrol,c. tegangan tali TA dan TB!PenyelesaianmA = 2 kgmB = 3 kg → wB = 30 Nmk = 2 kg → k = a. Percepatan balok A dan BBalok A dan B akan bergerak lurus dan katrol berotasi sehingga dapat ditentukan percepatan-nya dengan bantuan gambar gaya-gaya seperti pada Gambar 6.10(b).Gambar 6.9Momen gaya dapat menyebab-kan gerak rotasi dipercepat.Gambar 6.10(a) Sistem benda, (b) gaya-gaya yang bekerja.ROFαaABTBTAaαwB = 30 (b)AB(a)
Rotasi Benda Tegar95 Balok A : translasiΣF = m a TA = mAa = 2 a ....................................(a) Balok B : translasiΣF = m a30 − TB = 3a TB = 30 − 3a .......................................(b) Katrol : berotasiΣτ = I α (TB− TA) R = k mk R2 . TB− TA = . 2 . a Substitusi TA dan TB dapat diperoleh: (30 − 3a) − (2a) = a 30 = 6a→a = 5 m/s2b. Percepatan sudut katrol sebesar:α = = = 50 rad/s2c. Tegangan talinya: TA = 2a = 2 . 5 = 10 N TB = 30 − 3a = 30 − 3 . 5 = 15 NPada sistem katrol diketahui mA = 4 kg mB = 2 kg dan massa katrol 3 kg. Jari-jari katrol 5 cm dan g = 10 m/s2. Tentukan percepatan sistem, percepatan sudut katrol dan tegangan talinya jika sistem bendanya seperti pada gambar.Setelah memahami contoh di atas dapat kalian coba soal berikut.AB(b)(a)ABkatrol5
Fisika SMA Kelas XI96Gambar 6.11(a) Silinder menggelinding dan (b) gaya-gaya yang bekerja.F(a)Raf(b)Fb. MenggelindingKalian tentu sudah mengenal kata mengge-linding, bahkan mungkin pernah jatuh dan meng-gelinding. Benda menggelinding adalah benda yang mengalami dua gerak langsung yaitu translasi dan rotasi. Contohnya seperti gerak roda sepeda, motor atau mobil yang berjalan. Selain berotasi roda juga bergerak translasi (lurus).Pada gerak yang menggelinding akan berlaku kedua syarat secara bersamaan dari persamaan 6.4. Coba cermati contoh berikut.CONTOH 6.5Sebuah silinder pejal bermassa 2 kg dan jari-jari 20 cm berada di atas lantai datar. Silinder ditarik gaya F = 12 N melalui porosnya sehingga dapat menggelinding seperti pada Gambar 6.11(a). Tentukan:a. percepatan silinder,b. percepatan sudut silinder!Penyelesaianm = 2 kgR = 20 cm = 0,2 mF = 12 Nk = (silinder pejal)a. Percepatan silinderPerhatikan gaya-gaya yang bekerja pada sil-inder Gambar 6.11(b). Silinder mengalami dua gerakan. Rotasi:Στ = I αf . R = m R2 f = . a f = a Translasi:ΣF = m a F −f = m a 12 −a = 2a a = 4 m/s2b. Percepatan sudut silinder memenuhi:α = = = 20 rad/s2
Rotasi Benda Tegar97Setelah memahami contoh di atas dapat kalian coba soal berikut.LATIHAN 6.25. Balok bermassa m = 4 kg diikat pada ujung tali, sedangkan ujung tali yang lain dililitkan pada katrol berjari-jari 10 cm dan bermassa M = 2 kg. Tentukan percepatan yang dialami balok!6. Roda bermassa 3 kg dan berjari-jari 20 cm menggelinding di atas bidang miring yang memiliki sudut kemiringan 30O. Berapakah percepatan dan percepatan sudut roda tersebut?BAMmSebuah tali dililitkan pada yoyo kemudian digantung seperti gambar. Jika gaya yang dilepaskan maka akan bergerak yang sama dengan gerak melingkar. Massa yoyo 200 gr dan jari-jari 15 cm. Tentukan:a. percepatan yoyo,b. percepatan sudut yoyo,c. tegangan tali!1. Seseorang akan memikul dua beban berbeda mA = 30 kg dan mB = 50 kg. Kedua beban itu diikatkan pada ujung-ujung batang tak bermassa yang panjangnya 2 m. Berapakah jarak pundak pemikul dengan beban mA akan dalam keadaan seimbang?2. Batang AB panjangnya 3 m dan massanya 10 kg. Kedua ujungnya diberi penopang seperti gambar. Jarak 1 m dari ujung A diberi beban dengan massa 60 kg. Hitunglah berapa gaya tekan normal yang diberikan oleh masing-masing penopang agar seimbang?3. Tangga yang panjangnya 5 m dan beratnya 100 N disandarkan pada dinding yang licin. Batang bisa seimbang miring dengan ujung bawah berjarak 3 m dari dinding. Tentukan koefisien gesek statis lantai tersebut!4. Dua balok mA = 2 kg dan mB = 5 kg dihubungkan dengan tali dan melalui katrol bermassa 1 kg seperti pada gambar. Tentukan:a. percepatan sudut katrol jika jari-jarinya 5 cm,b. tegangan tali!1 mAB
Fisika SMA Kelas XI98C. Energi dan Momentum Sudut1. Energi Gerak RotasiSebuah benda yang bergerak rotasi juga me-miliki energi kinetik dan dinamakan energi kinetik rotasi. Analog dengan energi kinetik translasi, energi kinetik rotasi dipengaruhi oleh besaran-besaran yang sama dengan massa yaitu I dan analog dengan ke-cepatan linier yaitu kecepatan anguler ω. Perhatikan persamaan berikut.Translasi : EkT = mv2Rotasi : EkR = I ω2 .................. (6.5)Menggelinding : EkToT = Ekt + EkR EkToT= (1 + k) m v2CONTOH 6.6Sebuah balok bermassa memiliki massa 600 gr dan jari-jari 5 cm. Bola tersebut menggelinding dengan kecepatan linier 10 m/s. Tentukan energi kinetik total bola tersebut!Penyelesaianm = 600 gr = 0,6 kgR = 5 cm = 5.10-2 mv = 10 m/sMomen inersia: I = m R2 = . 0,6. (5.10-2)2 = 10-3 kgm2Kecepatan sudut:ω = = = 200 rad/sBerarti energi mekanik totalnya sebesar:EkToT = EkT + EkR = m v2 + I ω2 = . 0,6 . 102 + . 10-3 (200)2 = 50joule
Rotasi Benda Tegar99PentingKecepatan sudut ωdapat memiliki ban-yak satuan, seperti :rpm = rotasi permenit 1 rpm = 1 put/menit = Metode lain:Energi kinetik benda menggelinding memenuhi: EkToT = (1 + k) mv2 = . 0,6 . 102 = 50 jouleSetelah memahami contoh di atas dapat kalian coba soal berikut.Roda yang berupa silinder pejal massanya 3 kg dan jari-jari 20 cm. Roda tersebut menggelinding dengan kecepatan sudut 100 rad/s. Tentukan energi kinetik total gerak roda tersebut!2. Momentum SudutKalian sudah banyak mempelajari besaran-besaran yang analog antara besaran linier (gerak translasi) dengan besaran sudut (gerak rotasi). Analogi ini juga berlaku pada momentum. Pada gerak translasi benda memiliki momentum linier sedangkan pada gerak rotasi ada momentum sudut. Definisinya dapat dilihat pada persamaan berikut.Linier : p = m v ..................................... (6.7)Sudut : L = I ωCONTOH 6.7Sebuah bola pejal bermassa 0,5 kg dan jari-jari 20 cm berotasi dengan kecepatan sudut 15 rad/s. Berapakah mo-mentum sudut bola tersebut?Penyelesaianm = 0,5 kg, R = 0,2 mω = 15 rad/sbola pejal : k = Momentum sudut bola sebesar :L = I ω = (mR2).ω
Fisika SMA Kelas XI100 = . 0,5 . (0,2)2. 15 = 0,12 kg m2/sSetelah memahami contoh di atas dapat kalian coba soal berikut.Silinder pejal berongga 0,4 kg dan jari-jari R = 25 cm dirotasikan hingga mencapai kecepatan sudut 20 m/s. Tentukan sudut silinder tersebut!Kekekalan momentum sudutMomentum sudut memiliki hubungan dengan momen gaya. Masih ingat impuls dan momentum linier. Hubungan itu juga berlaku pada gerak rotasi. Hubungan-nya menjadi :τt = Lτ = Perumusan ini dapat memenuhi hubungan defer-ensial juga.τ= Masih ingat kekekalan momentum pada bab se-belum ini? Tentu masih ingat. Jika benda yang bergerak tidak bekerja gaya (impuls) maka momentumnya akan kekal. Konsep ini juga berlaku pada gerak rotasi. Per-hatikan penjelasan berikut!Jika pada benda yang berotasi tidak bekerja momen gaya (Στ = 0) maka pada gerak benda itu akan terjadi kekekalan momentum sudut.τ= = 0 berarti L = konstan, jadi berlaku :Lawal = Lakhir ..................................... (6.8)CONTOH 6.7Silinder A bermassa 2 kg sedang berotasi dengan ke-cepatan sudut 60 rad/s. Kemudian ada silinder B yang berjari-jari sama dan massa 3 kg digabungkan pada silinder A dengan poros sama. Tentukan kecepatan sudut gabungan silinder tersebut!PenyelesaianmA = 2 kg, RA = R, ωA = 60 rad/s
Rotasi Benda Tegar101Setelah memahami contoh di atas dapat kalian coba soal berikut.Gambar 6.12(a) Sebelum digabung(b) setelah digabungLATIHAN 6.3Berapakah kecepatan linier roda tersebut sewaktu mencapai titik yang ketinggiannya 1 m dari bidang horisontal?4. Sebuah silinder pejal bermassa 400 gr dan jari-jari 10 cm, diputar pada sumbu yang melalui pusat bola dengan kecepatan sudut 120 rpm. Tentukan momentum sudut silinder!5. Sebuah cakram yang bebas berputar terhadap sumbu yang vertikal mampu berputar dengan kecepatan 80 putaran per menit. Jika sebuah benda kecil bermassa 4.10-2 kg ditempelkan pada cakram berjarak 5 cm dari poros ternyata putarannya menjadi 60 putaran per menit maka tentukan momen inersia cakram!6. Dua piringan berjari-jari sama memiliki massa masing-masing : mA = 0,2 kg dan mB = 0,4 kg. Mula-mula kedua piringan berputar dengan kecepatan sudut masing-masing ωA = 2ω dan ωB = ω. Jika kedua piringan digabungkan sepusat maka berapakah energi yang hilang?ω’(b)BAωB = 0ωA = 60 rad/BA(a)mB = 3 kg, RB = R, ωB = 0ω’?Roda penggabungan silinder tersebut berlaku hu-kum kekekalan momentum sudut. Lawal = Lakhir IAvA + IBωB = (IA + IB) ω’mA R2ωA + mB R2ωB = (mAR2 + mBR2)ω’ (. 2 . 60) + . 3. 0 = (. 2 + .3) ω’ 60 = 2,5 ω’ω’ = 24 rad/sDua piringan berjari-jari sama memiliki massa masing-masing: mA = 0,8 kg dan mB = 1,6 kg. Pada awalnya kedua piringan berputar dengan kecepatan sudut ωA = 32 rpm dan ωB = 8 rpm. Jika kedua piringan digabungkan sepusat maka tentukan kecepatan sudutnya setelah digabung!1. Sebuah batang homogen bermassa 300 gr dan panjang 25 cm dapat bergerak rotasi arah mendatar pada salah satu ujungnya seperti gambar. Jika batang memiliki kecepatan sudut 4π rad/s maka berapakah besar energi kinetik rotasi batang? (gunakan π2 = 10)2. Sebuah bola kayu pejal dengan berat 150 N dan berjari-jari 0,2 m, bergerak lurus pada kelajuan 10 m/s sambil berputar. Jika tidak terjadi slip maka tentukan energi kinetik total bola tersebut!3. Sebuah roda dengan massa 15 kg dan jari-jari 0,5 m menggelinding di atas bidang miring yang membentuk sudut 30o terhadap bidang horisontal. Roda tersebut dilepas dari keadaan diamnya pada ketinggian 5 meter diukur dari bidang horisontal. ω
Fisika SMA Kelas XI102D. Titik BeratGambar 6.13Titik berat batangan homogen ada di tengah.Gambar 6.14Titik berat beberapa bendaZ0(a) bujur sangkar(b) bolaZ0Z0y(c) kerucuty = hZ0y(d) setengah bola pejaly = RZ0y(d) setengah bola pejaly = Pernahkah kalian meletakkan pensil atau peng-garis di atas jari-jari seperti pada Gambar 6.13? Cobalah sekarang. Dimanakah letaknya agar bisa seimbang? Tentu kalian bisa memperkirakan bahwa tempatnya ada di ten-gah-tengahnya. Titik tepat di atas jari-jari kalian itulah yang merupakan titik berat batang pensil atau penggaris. Berarti apakah titik berat itu? Dengan memperhatikan contoh itu maka titik berat dapat didefinisikan sebagai titik tempat keseimbangan gaya berat.Dari definisi di atas maka letak titik berat dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.a. Bangun dan bidang simetris homogenUntuk bangun atau bidang simetris dan homogen titik beratnya berada pada titik perpotongan sumbu si-metrinya. Contohnya : bujur sangkar, balok kubus dan bola.b. Bangun atau bidang lancipUntung benda ini titik beratnya dapat ditentukan dengan digantung benang beberapa kali, titik potong garis-garis benang (garis berat) itulah yang merupakan titik beratnya. Dari hasil tersebut ternyata dapat diketahui kesamaannya seperti berikut.Untuk bidang lancip y0 = h .............. (6.9)Untuk bangun lancip y0 = hc. Bagian bola dan lingkaranUntuk bagian bola yaitu setengah bola pejal dan bagian lingkaran yaitu setengah lingkaran dapat kalian lihat pada Gambar 6.14(d) dan (e).d. Gabungan bendaUntuk gabungan benda-benda homogen, letak titik beratnya dapat ditentukan dari rata-rata jaraknya terhadap acuan yang ditanyakan. Rata-rata tersebut ditentukan dari momen gaya dan gaya berat.x0 = ..................................... (6.10)y0 =
Rotasi Benda Tegar103hY (cm)X (cm)6020403010tsumbu simetriAIZ1Z2Zo(b)Gambar 6.15Y(cm)X(cm)206040A(a)Perhatikan nilai w pada persamaan 6.13. Nilai w tersebut dapat diubah-ubah sesuai besaran yang diketahui diantaranya seperti berikut.(1) w = mg, g sama berarti w dapat diganti dengan massa benda. Dari alasan inilah titik berat disebut juga titik pusat massa. x0 = ....................... (6.14) dan y0 = (2) Untuk benda homogen berarti massa jenis sama (ρ sama) dan m = ρv berarti massa dapat diganti dengan volumenya. x0 = dan y0 = ....................... (6.15)CONTOH 6.8Kerucut pejal dan silinder pejal dari bahan yang sama dan homogen digabungkan menjadi benda seperti Gambar 6.15(a). Tentukan koordinat titik berat benda terhadap titik A!PenyelesaianBenda memiliki sumbu simetri di x = 20 cm berartixo = 20 cm. Untuk menentukan yo, benda dapat dibagi dua seperti berikut.Benda I (silinder pejal) :Z1 = (20, 10) → V1 = π R2. t = π . 202 . 20 = 8000 π cm3Benda II (kerucut pejal) :Z2 = (20, 30)→V2 = π. R2 . hBerarti yo memenuhi : yo = = = 18 cmJadi Zo = (20, 18) cmmm = π. 202 . 40 = π cm3
Fisika SMA Kelas XI104RAhSetelah memahami contoh di atas dapat kalian coba soal berikut.Y(cm)X(cm)604020204030Z2IIOCBAE30DFZ1IGambar 6.16(b)Y (cm)X(cm)6020402040DACBEIII(a)Gambar 6.17Gambar 6.16 adalah gambar sistem benda gabungan yang terdiri dari : bagian bawah setengah bola pejal dan bagian atas kerucut pejal. Tentukan nilai h dalam R agar gabungan benda tersebut dapat seimbang indeferent!(3) Benda yang letaknya sama, V = A t. Berarti V dapat diganti A (luas). x0 = ........................... (6.16) dan y0 = CONTOH 6.9Sebuah karton homogen berbentuk L ditempatkan pada sistem koordinat seperti Gambar 6.17(a). Ten-tukan titik berat karton tersebut!PenyelesaianUntuk menentukan titik beratnya, karton bentuk L tersebut dapat dianggap sebagai dua benda seperti Gambar 6.17(a).Benda I : Z1 (20, 10) → A1 = 40.20 = 800 cm2Benda II : Z2 (50, 20) → A2 = 20.40 = 800 cm2Titik berat benda memenuhi: xo = = = 35 cm yo = = = 15 cmberarti Zo = (35, 15) cmMetode lainKarton L dapat dianggap sebagai benda persegi pan-jang yang dilubangi, lihat Gambar 6.17(b).Benda I : bidang OABF Z1 (30, 20) → A1 = 60 x 40 = 2400 cm2Benda II : bidang CDEF
Rotasi Benda Tegar105 Z2 (20, 30) → A2 = 40 × 20 = − 800 cm2Titik beratnya memenuhi : xo = = = 35 cm yo = = = 15 cmZo = (35, 15) cmPerhatikan bidang di bawah. Tentukan titik berat bidang dihitung dari titik O! (4) Benda yang lebarnya sama, A = p . l. p sama berarti A dapat diganti l. x0 = ...................... (6.17) dan y0 = Setelah memahami contoh di atas dapat kalian coba soal berikut.40 cm60 cm10 cmOLATIHAN 6.41. Tentukan titik berat bangun-bangun berikut.(a) (b)2. Tentukan titik berat bidang berikut.(a) (b)3. Bidang persegi panjang dipotong sehingga terlihat seperti gambar. Tentukan titik beratnya dari titik O.x96xy8484. Empat bujur sangkar ukuran 4 cm x 4 cm dipasang seperti gambar. Tentukan titik berat-nya.5. Silinder dan sete-ngah bola pejal digabung seperti gambar di bawah. Tentukan letak titik berat dari alasnya.y010x46yx024 cm12 cm55xyyx288y
Fisika SMA Kelas XI106Rangkuman Bab 61. Momen gaya didefinisikan sebagai perkalian gaya dan lengan yang tegak lurus : τ = d F sin α.2. Momen inersia benda putar memenuhi:a. sistem partikel : I = Σm R2b. benda tegar : I = k m R23. Benda yang seimbang memenuhi syarat:a. seimbang translasi : ΣF = 0b. seimbang rotasi : Στ = 04. Benda yang bergerak dipercepat memenuhi:a. translasi : ΣF = m ab. rotasi : Στ = I α5. Energi kinetik benda:a. translasi : EkT = m v2b. rotasi : EkR = I ω2c. menggelinding : Ektot = (1 + k) mv26. Momentum benda yang bergerak:a. translasi : p = m vb. rotasi : L = I ωJika pada gerak rotasi suatu benda tidak dipengaruhi momen gaya luar maka momentum sudut benda itu kekal. τ= . Jika τ= 0 L kekal.7. Titik berat adalah titik keseimbangan berat bendaTitik berat benda terletak pada sumbu simetri, simetri berat, simetris massa, simetri volume, simetri luas atau simetri panjang. x0 = = = = = y0 = = = = =
Rotasi Benda Tegar107Evaluasi Bab Pilihlah jawaban yang benar pada soal – soal berikut dan kerjakan di buku tugas kalian.1. Batang AD ringan panjangnya 1,5 m. Batang bisa berputar di titik C dan diberi tiga gaya seperti gambar. AB = 0,5 m dan CD = 0,5 m. Torsi yang bekerja pada batang terhadap titik C adalah ....A. 17,5 Nm berputar searah jarum jamB. 17,5 Nm berputar berlawanan arah jarum jamC. 2,5 Nm berputar searah jarum jamD. 2,5 Nm berputar berlawanan arah jarum jamE. 3,5 Nm berputar searah jarum jam2. Bola pejal bermassa 2,5 kg dan jari-jari 0,12m menggelinding pada lantai mendatar bersamaan dengan cincin yang bermassa 1 kg dan jari-jari 0,12 m. Perbandingan momen inersia bola pejal dan cincin sebesar ....A. 5 : 2 D. 2 : 5B. 2 : 1 E. 1 : 2C. 1 : 13. Kedua roda depan dan sumbu kedua roda belakang sebuah truk yang bermassa 1500 kg, berjarak 2 m. Pusat massa truk 1,5 m di belakang roda muka. Diandaikan bahwa percepatan gravitasi bumi adalah 10 m/s2. Beban yang dipikul oleh kedua roda muka truk itu sama dengan .... A. 1250 N D. 5000 NB. 2500 N E. 6250 NC. 3750 N4. Beban bermassa 20 kg ditempatkan pada jarak 1,5 m dari kaki B (lihat gambar) pada sebuah meja datar bermassa 100 kg yang panjangnya 6 m. Gaya yang bekerja pada kaki A untuk menahan beban dan meja adalah ....A. 20 NB. 16 NC. 14 ND. 8 NE. 7 N5. AC bermassa 40 kg dan panjangnya 3 m. Jarak tumpuan A dan B adalah 2 m ( di B papan dapat berputar). Seorang anak (massa 25 kg) berjalan dari A menuju ke C. Berapa jarak minimum anak dari titik C agar papan tetap setimbang (ujung batang A hampir terangkat ke atas)A. Nol D. 0,3 mB. 0,1 m E. 0,4 mC. 0,2 m6. Batang homogen AB bermassa 5 kg dan panjang 120 cm disandarkan pada anak tangga di titik C tanpa gesekan seperti gambar. Jika pada keadaan tersebut batang tepat akan tergelincir maka gaya normal pada titik C adalah ....A. 25 N B. 45 N C. 60 ND. 100 NE. 150 N7. Pada sistem kesetimbangan benda tegar seperti gambar di samping, AB batang homogen panjang 80 cm, beratnya 18 N, AB1,5 mABC80 cm60 cmF1 = 10 NF2 = 12 NF3 = 15 N370300BCADABC
Fisika SMA Kelas XI108B. 3 : 4 E. 14 : 15C. 4 : 313. Dari puncak bidang miring yang tingginya 6 m dari lantai dan kemiringan 370 dilepaskan sebuah silinder pejal sehingga menggelinding dengan kecepatan awal 2 m/s. Silinder yang bermassa 1,5 kg dan berjari-jari 25 cm dapat menggelinding sempurna. Kecepatan pusat massa silinder saat sampai di lantai sebesar ....A. 5 m/s D. 20 m/sB. 8 m/s E. 35 m/sC. 10 m/s14. Seorang anak laki-laki berdiri di atas papan yang dapat berputar bebas. Saat kedua lengannya terentang, kecepatan sudutnya 0,25 putaran/detik. Tetapi saat kedua lengan tertekuk kecepatannya menjadi 0,8 putaran/detik, maka perbandingan momen inersia anak waktu kedua tangan terentang dengan sesudah menekuk adalah ....A. 3 : 1 D. 5 : 16B. 1 : 3 E. 16 : 5C. 1 : 215. Bidang persegi diiris sehingga seperti bidang pada gambar. Koordinat titik berat bidang tersebut adalah ....A. (40, 60) B. (65, 60) C. (60, 40)D. (52, 48)E. (48, 52)16. Tiga buah benda dihubungkan batang yang massanya dapat diabaikan seperti gambar. mA = 2 kg, mB = 3 kg dan mC = 2,5 kg. AB = 80 cm dan AC = 60 cm. Jika sistem didorong gaya F dan bergerak translasi tanpa rotasi maka nilai y sebesar ....A. 60 cmB. 20 cmC. 30 cmD. 40 cm8. Berat beban = 30 N, BC adalah tali. Jika jarak AC = 60 cm, tegangan pada tali (dalam newton):A. 36 B. 48C. 50D. 65 E. 80 9. Sebuah yoyo dililiti tali cukup panjang dan ditarik oleh gaya F = 10 N seperti gambar. Massa yoyo 2,5 kg dan jari-jari R = 10 cm. Percepatan linier pusat massa yoyo adalah ....A. 10 m/s2B. 7,5 m/s2C. 5,0 m/s2D. 4,0 m/s2E. 2,5 m/s210. Sistem katrol dengan dua buah benda m1 = 2 kg dan m2 = 6 kg dihubungkan katrol bermassa 4 kg seperti pada gambar. Percepatan yang dialami benda m1 dan m2 adalah ....A. 10 m/s2B. 5 m/s2C. 4 m/s2D. 2,5 m/s2E. 2 m/s211. Pada gambar di samping, massa balok A, beban B dan roda katrol berongga C masing-masing adalah 7 kg, 2 kg dan 1 kg. Percepatan gravitasi = 10 m/s2. Tegangan tali T1 adalah ...A. 20 NB. 16 NC. 14 ND. 8 NE. 7 N12. Silinder pejal dan roda yang memiliki massa dan jari – jari sama masing-masing 4 kg dan 50 cm. Kedua benda menggelinding dengan kecepatan yang sama pula yaitu 5 m/s. Perbandingan energi kinetik silinder dan roda adalah ....RF = 10 NCB60y80AFCABbebanm1m2XY60(0,0)80120ABT1T2Clicin